Question

Chứng minh rằng: 

Nếu -1≤b≤1 thì BĐT có chiều ngược lại: \(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}\le\dfrac{2}{1+ab}\)

Answer 1

Chuyển vế sang, xét \(\left(\dfrac{1}{1+ab}-\dfrac{1}{a^2+1}\right)+\left(\dfrac{1}{1+ab}-\dfrac{1}{b^2+1}\right)=\dfrac{a^2-ab}{\left(1+ab\right)\left(a^2+1\right)}+\dfrac{b^2-ab}{\left(1+ab\right)\left(b^2+1\right)}\)

\(=\dfrac{a-b}{1+ab}.\left(\dfrac{a}{a^2+1}-\dfrac{b}{b^2+1}\right)=\dfrac{\left(a-b\right)^2\left(1-ab\right)}{\left(1+ab\right)\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\)

Dễ thấy (a - b)² không âm, (a² + 1) > 0, (b² + 1) > 0

nên bđt trên phụ thuộc vào dấu của \(\dfrac{1-ab}{1+ab}\)

 

Answer 2

Đề bài sai, chiều của BĐT này ko phụ thuộc vào b mà phụ thuộc vào ab

Ví dụ: với \(b=\dfrac{1}{2};a=6\) (b thỏa mãn \(-1\le b\le1\)) thì \(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}>\dfrac{2}{1+ab}\)

Nhưng với \(b=\dfrac{1}{2};a=1\) (vẫn thỏa mãn \(-1\le b\le1\) ) thì \(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}< \dfrac{2}{1+ab}\)