Ta có: \(2^{33}\equiv29\left(mod343\right)\)
\(\left(2^{33}\right)^4\equiv29^4\equiv15\left(mod343\right)\)
\(\Rightarrow2^{132}\cdot2^{15}\equiv15\cdot183\equiv2745\equiv1\left(mod343\right)\)
\(\Rightarrow2^{147}-1\equiv1-1\equiv0\left(mod343\right)\)
=> \(\left(2^{147}-1\right)⋮343\) (đpcm)
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn:a+b=4
Chứng minh rằng: \(\left(1+a+\frac{1}{a}\right)3^{ }^{ }^{ }+\left(1+b+\frac{1}{b}\right)3^{ }^{ }^{ }\ge\frac{343}{4}\)
Cho x,y>0 Chứng minh rằng:\(\left(x+1\right)\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{9}{\sqrt{y}}\right)^2\ge256\)
Chứng minh rằng với mọi x, y, z > 0 ta có: \(\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)\left(1+\dfrac{z}{x}\right)\ge2+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Chứng minh rằng: \(\left|\dfrac{m}{n}-\sqrt{2}\right|\ge\dfrac{1}{n^2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}\)
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{15}{6}\left(a+b+c+1\right)^2\)
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc a, b, c: \(B=\dfrac{4a^2-1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{4b^2-1}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\dfrac{4c^2-1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
Cho các số thực a, b, c. Chứng minh rằng:
\(\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\left(1+a\right)^2}+\frac{1}{\left(1+b\right)^2}+\frac{1}{\left(1+b\right)^2}+\frac{2}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge1\)
Chứng minh rằng: \(\left(a+\frac{1}{b}\right).\left(b+\frac{1}{c}\right).\left(c+\frac{1}{a}\right)\ge\left(\frac{10}{3}\right)^2\)với a,b,c >0 và a+b+c=1.
