Ta có: \(n^6-n^4-2n^2=n^6+n^4-2n^4-2n^2=\left(n^4+n^2\right)\left(n^2-2\right)\)
chia hết cho \(n^4+n^2\).
Để \(n^6-n^4-2n^2+9⋮n^4+n^2\)
\(\Rightarrow9⋮n^4+n^2\)
\(\Leftrightarrow n^4+n^2\inƯ\left(9\right)=\left\{\pm1;\pm3;\pm9\right\}\)
Vì \(n^4+n^2=n^2\left(n^2+1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow n^4+n^2=\left\{1;3;9\right\}\)
Ta có bảng sau:
| \(n^4+n^2\) | 1 | 3 | 9 |
| \(n\in N\) | \(\varnothing\) | \(\varnothing\) | \(\varnothing\) |
| (loại) | (loại) | (loại) |
Vậy không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn đề bài.
\(A=n^6-n^4-2n^2+9\)
\(=n^2\left(n^4+n^2\right)-2\left(n^4+n^2\right)+9\)
\(=\left(n^2-2\right)\left(n^4+n^2\right)+9\)
Do đó : \(A⋮n^4+n^2\Leftrightarrow9⋮n^4+n^2\)
+ \(n^4+n^2=n^2\left(n^2+1\right)⋮2\) ( tích 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 )
\(\Rightarrow9⋮̸n^4+n^2\Rightarrow A⋮̸n^4+n^2\)
