Question

chứng minh rằng biểu thức :4x(x+y)(x+y+z)(x+y)y^2z^2 luôn luôn không âm với mọi giá trị của x,y và z

Answer 1

Ta có: \(4x\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)y^2z^2\)

\(=4.\left[x.\left(x+y+z\right)\right].\left[\left(x+y\right)\left(x+z\right)\right]+y^2z^2\)

\(=4\left(x^2+xy+xz\right)\left(x^2+xz+xy+yz\right)+y^2z^2\)

\(=4.\left(x^2+xy+xz\right)^2+4yz.\left(x^2+xy+xz\right)+y^2z^2\)

\(=\left(2x^2+2xy+2xz\right)^2+2yz\left(2x^2+2xy+2xz\right)+\left(yz\right)^2\)

\(=\left(2x^2+2xy+2xz+yz\right)^2\)

Do đó biểu thức \(4x\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)y^2z^2\) luôn luôn không âm với mọi giá trị của x,y và z.

Điều phải chứng minh.