Question

Chứng minh rằng:

a⁴+b⁴+2 \(\ge\) 4ab

Answer 1

\(a^4+b^4+2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4+2a^2b^2-4ab+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+2\left(ab-1\right)^2\ge0^{\left(1\right)}\)

\(^{\left(1\right)}\) đúng vậy ta có đpcm

Answer 2

C1: a^4 + b^4 + 2 ≥ 4ab
<=> a^4 - 2a^2 + 1 + b^2 - 2b^2 + 1 + 2a^2 + 2b^2 + 4ab
<=> (a^2 - 1)^2 + (b^2 -1)^2 + 2( a^2 -2ab+ b^2)
<=> (a^2 -1)^2 + (b^2 -1)^2 + 2(a-b) >= 0 (với mọi a, b)
Vậy nên a^4 + b^4 + 2 ≥ 4ab (với mọi số nguyên a, b)

C2:Xét (a + b)^2 - 4ab
= a^2 + 2ab +b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 >= 0
=> (a+b)^2 >= 4ab
Mà ta có:
a^4 + b^4 + 2 - (a+b)^2
= a^4 + b^4 +2 -a^2 - b^2 - 2ab
=a^4 - 2a^2 + 1 + a^2 + b^4 - 2b^2 +1 + b^2 - 2ab
= (a^2 - 1)^2 + (b^2 - 1)^2 + (a-b)^2 >= 0
=> a^4 + b^4 +2 >= (a+b)^2
=> a^4 + b^4 +2 >= 4ab

bạn thấy cánh nào dễ hơn thì chọn nha