Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
0o0^^^Nhi^^^0o0

Chứng minh rằng:

a4+b4+2 \(\ge\) 4ab

nam do
31 tháng 3 2018 lúc 21:09

\(a^4+b^4+2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4+2a^2b^2-4ab+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+2\left(ab-1\right)^2\ge0^{\left(1\right)}\)

\(^{\left(1\right)}\) đúng vậy ta có đpcm

Nguyễn Hoàng Huy
31 tháng 3 2018 lúc 21:12

C1: a^4 + b^4 + 2 ≥ 4ab
<=> a^4 - 2a^2 + 1 + b^2 - 2b^2 + 1 + 2a^2 + 2b^2 + 4ab
<=> (a^2 - 1)^2 + (b^2 -1)^2 + 2( a^2 -2ab+ b^2)
<=> (a^2 -1)^2 + (b^2 -1)^2 + 2(a-b) >= 0 (với mọi a, b)
Vậy nên a^4 + b^4 + 2 ≥ 4ab (với mọi số nguyên a, b)

C2:Xét (a + b)^2 - 4ab
= a^2 + 2ab +b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 >= 0
=> (a+b)^2 >= 4ab
Mà ta có:
a^4 + b^4 + 2 - (a+b)^2
= a^4 + b^4 +2 -a^2 - b^2 - 2ab
=a^4 - 2a^2 + 1 + a^2 + b^4 - 2b^2 +1 + b^2 - 2ab
= (a^2 - 1)^2 + (b^2 - 1)^2 + (a-b)^2 >= 0
=> a^4 + b^4 +2 >= (a+b)^2
=> a^4 + b^4 +2 >= 4ab

bạn thấy cánh nào dễ hơn thì chọn nha


Các câu hỏi tương tự
Nam Lee
Xem chi tiết
Đinh Cẩm Tú
Xem chi tiết
Kanzaki Mizuki
Xem chi tiết
trần trác tuyền
Xem chi tiết
Nam Lee
Xem chi tiết
Nam Lee
Xem chi tiết
Nam Lee
Xem chi tiết
Bong Bóng Công Chúa
Xem chi tiết
Đỗ Đàm Phi Long
Xem chi tiết