Question

chứng minh rằng a⁴+b⁴-ab³-a³b\(\ge0\)

Answer 1

Ta có: \(a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\) (*)

<=> \(a^3\left(a-b\right)+b^3\left(b-a\right)\ge0\)

<=> \(a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

<=> \(\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

<=> \(\left(a-b\right)\left[\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\right]\ge0\)

<=> \(\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (1)

(1) đúng => (*) đúng

Answer 2

áp dụng bất đẳng thức cô si cho 4 số không âm ta có

a⁴+b⁴+a⁴+a⁴ >= 4\(\sqrt[4]{a^4.b^4.a^4.a^4}\)=4a³b(1)

a⁴+b⁴+b⁴+b⁴ >= 4\(\sqrt[4]{a^4b^4b^4b^4}\)= 4ab³ (2)

từ (1) và (2) suy ra : 4(a⁴+b⁴)>=4(a³b+ab³)

<=> a⁴+b⁴>= a³b+ab³

<=> a⁴+b⁴ -a³b-ab³>=0 (đpcm)