Question

Chứng minh rằng 2^n-1 và 2^n+1 không thể đồng thời là số nguyên tố(n>2)

Giúp!

Answer 1

vì n là số nguyên tố và n >2 nên n chỉ có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 

TH1: với n có dạng 3k+1 thì ta được 

\(2^{n-1}=2^{3k+1-1}=2^{3k}=6^k\) mà \(6^k\) chia hết cho 2 ; 3 ; 6

\(\Rightarrow2^{n-1}\) là số chính phương  (1)

TH2: với n có dạng 3k+2 thì ta được:

\(2^{3k+2+1}=2^{3k+3}=2^{3.\left(k+1\right)}=\left(2^3\right)^{2k+1}=8^{2k+1}\) 

Mà \(8^{2k+1}\) chia hết cho 2: 4: 8 

\(\Rightarrow2^{n+1}\) là số chính phương (2)

 Từ (1) và (2) ta thấy \(2^{n-1}\) và \(2^{n+1}\) không thể đồng thời là số nguyên tố với n >2