Question

Chứng minh. Nếu pt x^3-ax^2+bx-c=0 có ba nghiệm cấp số cộng 9ab=2a^3+27c

Answer 1

Làm bừa xí, đúng hay ko còn tùy :)

Giả sử phương trình có 3 nghiệm x1, x2, x3 lập thành CSC

\(\Rightarrow x_1+x_3=2x_2\left(1\right)\)

Also have: \(x^3-ax^2+bx-c=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)=x^3-\left(x_1+x_2+x_3\right)x^2+\left(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\right)x-x_1x_2x_3\)

\(\Rightarrow x_1+x_2+x_3=a\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow3x_2=a\Leftrightarrow x_2=\dfrac{a}{3}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{a}{3}\right)^2-a\left(\dfrac{a}{3}\right)^2+b.\left(\dfrac{a}{3}\right)-c=0\Leftrightarrow-\dfrac{2a^3}{27}+\dfrac{ba}{3}-c=0\Leftrightarrow9ab=2a^3+27c\left(dpcm\right)\)