Question

Chứng minh: \(\left(4^n+6n-1\right)⋮9\) với \(n\in N;n\ge1\)

Answer 1

Mệnh đề đúng với \(n=1\) vì \(4^1+6.1-1=9\).

- Giả sử \(\left(4^k+6k-1\right)⋮9\). Ta chứng minh:

\(\left[4^{k+1}+6\left(k+1\right)-1\right]⋮9\)

Ta có:

\(4^{k+1}+6\left(k+1\right)-1\)

\(=4.4^k+6k+6-1\)

\(=\left(4^k+6k-1\right)+3.4^k+6\)

\(=\left(4^k+6k-1\right)+3\left(4^k+2\right)\)

Đặt \(A=4^k+6k-1\) và \(B=3\left(4^k+2\right)\)

Theo giả thiết quy nạp thì \(A⋮9\)

Do \(4:3=1\) (dư 1) \(\Rightarrow4^k:3\) dư \(1\Rightarrow\left(4^k+2\right)⋮3\Rightarrow B⋮9\)

Lại có \(\left[4^{k+1}+6\left(k+1\right)-1\right]⋮9\)

Vậy mệnh đề đúng với mọi \(n\in N;n\ge1\)

Answer 2

Hồng Phúc Nguyễn Phạm Ngân Hà