Question

Chứng minh hệ thức (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) = 0 có nghiệm.

Help me, please!!!!

Answer 1

Ta có: ( khai triển hệ thức ra )

\(\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-a\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-bx-ax+ab+x^2-cx-bx+bc+x^2-ax-cx+ca=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-2\left(a+b+c\right)x+ab+bc+ac=0\)

Đây là pt bậc hai nên ta có

\(\Delta^’=\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+ac+bc\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)

Nên phương trình luôn có nghiệm.