Question

Chứng minh các bất đẳng thức :

Cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng : a³ + b³ + c³ = 3abc. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng :

Chứng minh rằng : x⁵ + y⁵ ≥ x⁴y + xy⁴ với x, y ≠ 0 và x + y ≥ 0

Answer 1

mk làm câu 1) CMR: x⁵ + y⁵ \(\ge\) x⁴y + xy⁴ với x,y \(\ne\) 0 và x + y \(\ge\) 0.

Giải

Ta có: \(x^5+y^5\ge x^4y+xy^4\) (**)

\(\Leftrightarrow\left(x^5-x^4y\right)-\left(xy^4-y^5\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^4\left(x-y\right)-y^4\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^4-y^4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\ge0\) (*)

Ta thấy: \(\left(x-y\right)^2\ge0\), x + y \(\ge\) 0(gt), x² + y² \(\ge\) 0,do đó BĐT(*) luôn đúng.

Vậy BĐT(**) được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi x = y.