\(\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\right)^2=\frac{1}{27}\left(a+b+c\right)^4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh các bất đẳng thức sau đây với a,b,c là các số thực dương
a) \(\left(ab+c^2\right)\left(bc+a^2\right)\left(ca+b^2\right)\ge abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
b) \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1\)
CMR: \(\frac{a}{bc\left(a+c\right)}+\frac{b}{ac\left(a+b\right)}+\frac{c}{ab\left(b+c\right)}\ge\frac{27}{2\left(a+b+c\right)}\)
(a,b,c là số thực dương)
(được sử dụng bất đẳng thức causy schwar dạng engle)
(trích để thi quốc gia rumani 2004)
Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau \(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
Cho \(a,b,c,k>0\). Chứng minh bất đẳng thức :
\(\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^2-bc}{2ka^2+k^2b^2+c^2}\right)\ge0\)
Cho a, b, c là số thực dươn. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\dfrac{1}{a\left(a^2+8ab\right)}+\dfrac{1}{b\left(b^2+8ac\right)}+\dfrac{1}{c\left(c^2+8ab\right)}\le\dfrac{1}{3abc}\)
Cho tam giac ABC vuông tại A với các đường phân giác BM và CN. Chứng minh bất đẳng thức :\(\frac{\left(MC+MA\right)\left(NB+NA\right)}{MA.NA}\ge3+2\sqrt{2}\)
Có mấy bài bất đẳng thức, bạn nào làm được câu nào thì làm nhé
a) Cho \(a,b,c,d>0\)
Chứng minh rằng : \(ab+dc+cd+ad\le\frac{\left(a+b+c+d\right)^4}{4}\)
b) Cho \(x,y\in R^+\)thỏa mãn \(x+y=2\)
Chứng minh : \(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\le2\)
c) Cho \(a,b,c\in R^+\)tùy ý
Chứng minh rằng : \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Chứng minh bất đẳng thức:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
Ai giúp mình với
Chứng minh bất đẳng thức:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
Ai giúp mình với
