\(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{b-1}}{b}+\frac{\sqrt{a-1}}{a}\le1\)
Áp dụng BĐT Cô-si :
\(\sqrt{b-1}=\sqrt{1\cdot\left(b-1\right)}\le\frac{1+b-1}{2}=\frac{b}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{b-1}}{b}\le\frac{\frac{b}{2}}{b}=\frac{1}{2}\)
Chứng minh tương tự \(\frac{\sqrt{a-1}}{a}\le\frac{1}{2}\)
Cộng theo vế ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=2\)
Cho biết \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\) (\(a\ge1\); \(b\ge1\)). Chứng minh a+b=ab
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=1
Chứng minh rằng: \(\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{3}{2}.\)
(Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy)
cho a,b,c>0 và \(a^2+b^2+c^2=1\)
chứng minh rằng \(A=\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}+\sqrt{\dfrac{bc-2a^2}{1+bc-a^2}}+\sqrt{\dfrac{ca+2b^2}{1+ca-b^2}}\ge2+ab+bc+ca\)
Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và \(a\ne b\))
a) \(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\dfrac{2b}{b-a}=\dfrac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
b) \(\left(\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right)\left(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)^2=1\)
Chứng minh các đẳng thức sau :
a) \(\left(\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}-\dfrac{\sqrt{216}}{6}\right).\dfrac{1}{\sqrt{6}}=-1,5\)
b) \(\left(\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\right):\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=-2\)
c) \(\dfrac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=a-b\) với a, b dương và \(a\ne b\)
d) \(\left(1+\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\dfrac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)=1-a\) với \(a\ge0\) và \(a\ne1\)
Giúp mk với!!!
Cho \(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}=1\)
Chứng minh rằng \(a^2+b^2=1\)
cho a,b,c là các số thực thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\)
chứng minh rằng \(\sqrt{a^2+b^2.c^2}+\sqrt{b^2+c^2.a^2}+\sqrt{c^2+a^2.b^2}\ge ab+bc+ca+1\)
cho a>1,b>1.chung minh \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}< ab\)
từ giả thiết, ta có \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)
đặt \(\left(\dfrac{1}{xy};\dfrac{1}{yz};\dfrac{1}{zx}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=1\) =>\(\left(\dfrac{ac}{b};\dfrac{ab}{c};\dfrac{bc}{a}\right)=\left(\dfrac{1}{x^2};\dfrac{1}{y^2};\dfrac{1}{z^2}\right)\)
ta có VT=\(\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{y^2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{z^1}}}=\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{ac}{b}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{ab}{c}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{bc}{a}}}\)
=\(\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{b+ac}{b}}}+\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{a+bc}{a}}}+\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{c+ab}{c}}}=\sqrt{\dfrac{a}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{b}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\sqrt{\dfrac{c}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\le\sqrt{3}\sqrt{\dfrac{ac+ab+bc+ba+ca+cb}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\sqrt{3}.\sqrt{\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
ta cần chứng minh \(\sqrt{\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow8\left(ab+bc+ca\right)\le9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
<=>\(8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) (luôn đúng )
^_^
