c)
Theo phần b: \(\triangle OBM=\triangle OCN\Rightarrow \angle OBM=\angle OCN(1)\)
Ta cũng thấy:
\(AO\) là trung trực của $BC$ (đã chỉ ra ở phần b) nên \(AB=AC, OB=OC\)
Do đó: \(\triangle ABO=\triangle ACO\) (c.c.c)
\(\Rightarrow \angle ABO=\angle ACO\) hay \(\angle OBM=\angle ACO(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \angle ACO=\angle OCN\)
Mà tổng 2 góc trên bằng $180^0$ nên mỗi góc bằng $90^0$
Vậy \(\angle OCN=90^0\Rightarrow OC\perp AN\)
d)
Ta có: \(\angle OBM=\angle OCN=90^0\Rightarrow AB\perp OB\)
Tam giác vuông tại $B$ là $ABO$ có đường cao $BH$ nên theo công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta thu được kết quả:
\(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{BO^2}=\frac{1}{1}{BH^2}=\frac{1}{(\frac{BC}{2})^2}=\frac{4}{BC^2}\) (do tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên chân đường cao $H$ đồng thời cũng là trung điểm của $BC$)
Ta có đpcm.
Lời giải:
a)
Vì \(BM\parallel ND\Rightarrow \angle MBI=\angle IDN=\angle CDN\) (so le trong)
Mà: \(\angle MBI=\angle ACB=\angle DCN\) (do tam giác ABC cân)
\(\Rightarrow \angle CDN=\angle DCN\) .
Do đó tam giác $NCD$ cân tại $N$
\(\Rightarrow NC=ND\) . Mà \(NC=BM\Rightarrow BM=ND\)
Tứ giác $BMDN$ có hai cạnh đối $BM,ND$ vừa song song vừa bằng nhau nên $BMDN$ là hình bình hành.
b) Vì tam giác $ABC$ cân nên đường cao $AH$ đồng thời là đường trung trực của $BC$
$O$ nằm trên $AH$ nên \(OB=OC(1)\)
Theo phần a, $BMDN$ là hbh nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Do đó $I$ là trung điểm của $MN$
Mà \(OI\perp MN\Rightarrow OI\) là trung trực của $MN$
\(\Rightarrow OM=ON(2)\)
Giả thiết có \(BM=CN(3)\)
Từ (1);(2);(3) suy ra \(\triangle OBM=\triangle OCN(c.c.c)\)
