Question

cho x,y,z>0 thỏa xyz=x+y+z+2. chứng minh:

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\dfrac{3\sqrt{xyz}}{2}\)

Answer 1

BĐT cần chứng minh tương đương với

\(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\le\dfrac{3}{2}\)

Đặt\(x=\dfrac{b+c}{a};y=\dfrac{c+a}{b};z=\dfrac{a+b}{c}\)

Khi đó áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng vào có:

\(Σ\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+c}{a+c}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{a+b}{a+b}\right)=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=2\)

Answer 2

Sưng sẩu quá ..ko nhai nổi đâu.