Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phan PT

Cho x,y,z>0 thỏa xy+yz+zx=1.Chứng minh rằng:

\(\Sigma\frac{1}{xy}\ge3+\Sigma\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\)

Nguyễn Việt Lâm
24 tháng 10 2020 lúc 20:43

Ta có:

\(VT=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{xy+yz+zx}{xy}+\frac{xy+yz+zx}{yz}+\frac{xy+yz+zx}{zx}\)

\(VT=3+\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{x\left(y+z\right)}{yz}+\frac{y\left(x+z\right)}{zx}\) (1)

Mặt khác:

\(\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{x\left(y+z\right)}{yz}\ge2\sqrt{\frac{zx\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{xy^2z}}=2\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{y^2}}=\frac{2\sqrt{y^2+xy+yz+zx}}{y}=\frac{2\sqrt{y^2+1}}{y}\)

Tương tự: \(\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{y\left(x+z\right)}{zx}\ge\frac{2\sqrt{x^2+1}}{x}\) ; \(\frac{x\left(y+z\right)}{yz}+\frac{y\left(x+z\right)}{zx}\ge\frac{2\sqrt{z^2+1}}{z}\)

Cộng vế với vế:

\(\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{x\left(y+z\right)}{yz}+\frac{y\left(x+z\right)}{xz}\ge\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}+\frac{\sqrt{y^2+1}}{y}+\frac{\sqrt{z^2+1}}{z}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=...\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Đức Huy
Xem chi tiết
Đẹp Trai Không Bao Giờ S...
Xem chi tiết
Ex Crush
Xem chi tiết
Tuệ Lâm
Xem chi tiết
phạm kim liên
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Armldcanv0976
Xem chi tiết
Hoàng Linh Chi
Xem chi tiết