Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trung Dũng

Cho x,y,z là các số thực dương

 

Nguyễn Việt Lâm
21 tháng 3 2022 lúc 21:17

Ta có:

\(VT=\sqrt{x+z}\sqrt{\dfrac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{x+y}\sqrt{\dfrac{y}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{y+z}\sqrt{\dfrac{z}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)

\(\Rightarrow VT^2\le\left(x+z+x+y+y+z\right)\left(\dfrac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{z}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\right)\)

\(\Rightarrow VT^2\le\dfrac{4\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

Mặt khác ta có:

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\sqrt[3]{xyz}.\sqrt[3]{xy.yz.zx}\)

\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right).\dfrac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow VT^2\le\dfrac{4\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{9}{2}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)


Các câu hỏi tương tự
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Kinder
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Đạt Trần Tiến
Xem chi tiết
Đạt Trần Tiến
Xem chi tiết
CAO Thị Thùy Linh
Xem chi tiết
Đạt Trần Tiến
Xem chi tiết
Quang Huy Điền
Xem chi tiết