Question

Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn:x+y+z=3

Chứng minh rằng:\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3x+xy}}\le1\)

Các pro giải hộ vs(làm cách mà hs lớp 9 hiểu đc nha)

Answer 1

Sửa đề: mẫu số cuối cùng là \(z+\sqrt{3z+xy}\) mới hợp lý

\(3x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=x^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)

Mà theo BĐT Bunhiacopxki:

\(\left(x+y\right)\left(z+x\right)\ge\left(\sqrt{xz}+\sqrt{yx}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\)

Tương tự ta có: \(\sqrt{3y+zx}\ge\sqrt{yz}+\sqrt{xy}\) ; \(\sqrt{3z+xz}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}+\frac{y}{y+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}+\frac{z}{z+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)