Phân thức đại số

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phan Đình Trường

Cho x,y>0 và \(x+y\le1\). Tìm GTNN của \(A=\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{y^2}\right)\)

Hoàng Tuấn Đăng
18 tháng 6 2017 lúc 10:03

\(A=\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{y^2}\right)=1+\dfrac{1}{x^2y^2}-\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có:

\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{2}{xy}\) (1)

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\) (2)

TỪ (2) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{x^2y^2}\ge\dfrac{16}{\left(x+y\right)^4}\)\(\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}\)

Mặt khác, theo đề \(x+y\le1\)

=> \(\dfrac{1}{x+y}\ge1\)

=> A \(\ge1+\dfrac{16}{\left(x+y\right)^4}+\dfrac{2}{xy}\) \(\ge1+\dfrac{16}{\left(x+y\right)^4}-\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}\)

\(=1+16-8=9\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = y = 0,5


Các câu hỏi tương tự
Phạm Băng Băng
Xem chi tiết
Phạm Băng Băng
Xem chi tiết
Phạm Băng Băng
Xem chi tiết
Nguyen Thi Ngoc Lan
Xem chi tiết
Loveduda
Xem chi tiết
Juvia Lockser
Xem chi tiết
Trần Quang Minh
Xem chi tiết
Dương Phương Linh
Xem chi tiết
Duy Trần
Xem chi tiết