Full đây :
\(T=x^2+y^2+3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\\ =\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{1}+3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\\ \ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{1+1}+3.\dfrac{4}{x+y}\\ =\dfrac{4}{2}+3.\dfrac{4}{2}\\ =2+6=8\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Cách khác :
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta có :
( x2 + y2)( 12 + 12) ≥ ( x + y)2
⇔ x2 + y2 ≥\(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}=2\) ( đẳng thức xảy ra khi : x = y = 1)
Áp dụng BĐT Cô - si dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\dfrac{4}{2}=2\) ( đẳng thức xảy ra khi : x = y = 1)
Từ đó , ta có :
\(T=x^2+y^2+3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\) ≥ \(2+3.2=8\)
⇒ TMin = 8 ⇔ x = y = 1
