Question

Cho  \(x;y\)  là  2 số thực phân biệt thỏa mãn: \(\dfrac{1}{x^2+2}+\dfrac{1}{y^2+2}=\dfrac{2}{xy+2}\). Tính giá trị của biểu thức sau : \(P=\dfrac{1}{x^2+2}+\dfrac{1}{y^2+2}+\dfrac{2}{x.y+2}\).
P/s:  Em   xin phép nhờ quý thầy cô và các bạn yêu  toán giúp đỡ em tham khảo với ạ.
Em cám ơn nhiều lắm ạ!

Answer 1

\(\dfrac{1}{x^2+2}-\dfrac{1}{xy+2}+\dfrac{1}{y^2+2}-\dfrac{1}{xy+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{xy-x^2}{\left(x^2+2\right)\left(xy+2\right)}+\dfrac{xy-y^2}{\left(y^2+2\right)\left(xy+2\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-y}{xy+2}\left(\dfrac{y}{y^2+2}-\dfrac{x}{x^2+2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x-y}{xy+2}\right)\left(\dfrac{x^2y+2y-xy^2-2x}{\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2\left(xy-2\right)}{\left(xy+2\right)\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow xy=2\) (do x;y phân biệt)

\(\Rightarrow P=\dfrac{2}{xy+2}+\dfrac{2}{xy+2}=\dfrac{4}{xy+2}=\dfrac{4}{2+2}=1\)