Question

Cho x,y là 2 số dương có tổng bằng 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\left(\dfrac{1}{x}+x\right)^2+\left(\dfrac{1}{y}+y\right)^2\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

\(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(1+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge2\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(\Leftrightarrow............\ge2\left(xy+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{1}{xy}\right)\ge2\left(2\sqrt{xy\cdot\dfrac{1}{xy}}+2\sqrt{\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{x}}\right)=2\cdot4=8\)

Vậy:.......

Answer 2

Cái này bổ sung, mk quên giải chung với cái kia

GTNN của A khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}=y+\dfrac{1}{y}\\x+y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2+1}{x}=\dfrac{y^2+1}{y}\\x+y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x+y=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy:GTNN của A là 8 khi x=y=1/2

Answer 3

Áp dụng BĐT Cauchy schwarz dưới dạng en-gel ta có :

\(A=\left(\dfrac{1}{x}+x\right)^2+\left(\dfrac{1}{y}+y\right)^2\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+x+y\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{4}{x+y}+\left(x+y\right)\right)^2}{2}=\dfrac{25}{2}\)

Vậy GTNN của A là \(\dfrac{25}{2}\) . Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)