Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngoc An Pham

Cho x,y là 2 số dương có tổng bằng 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\left(\dfrac{1}{x}+x\right)^2+\left(\dfrac{1}{y}+y\right)^2\)

hakito
2 tháng 2 2019 lúc 15:28

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

\(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(1+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge2\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(\Leftrightarrow............\ge2\left(xy+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{1}{xy}\right)\ge2\left(2\sqrt{xy\cdot\dfrac{1}{xy}}+2\sqrt{\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{x}}\right)=2\cdot4=8\)

Vậy:.......

hakito
2 tháng 2 2019 lúc 15:33

Cái này bổ sung, mk quên giải chung với cái kia

GTNN của A khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}=y+\dfrac{1}{y}\\x+y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2+1}{x}=\dfrac{y^2+1}{y}\\x+y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x+y=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy:GTNN của A là 8 khi x=y=1/2

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
2 tháng 2 2019 lúc 16:29

Áp dụng BĐT Cauchy schwarz dưới dạng en-gel ta có :

\(A=\left(\dfrac{1}{x}+x\right)^2+\left(\dfrac{1}{y}+y\right)^2\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+x+y\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{4}{x+y}+\left(x+y\right)\right)^2}{2}=\dfrac{25}{2}\)

Vậy GTNN của A là \(\dfrac{25}{2}\) . Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Tạ Uyên
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
dsadasd
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
CandyK
Xem chi tiết
Nhan Thanh
Xem chi tiết
 Huyền Trang
Xem chi tiết
Aocuoi Huongngoc Lan
Xem chi tiết
nguyenyennhi
Xem chi tiết