Question

Cho x,y> 0 và x+y=1 . Tìm MinP = \(\dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{1}{xy}\)

Answer 1

\(P=\dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-3xy\left(x+y\right)}+\dfrac{3}{3xy}\)

\(=\dfrac{1}{\left(x+y\right)^3-3xy}+\dfrac{3}{3xy}\)\(=\dfrac{1}{1-3xy}+\dfrac{3}{3xy}\)

áp dụng BDT Cauchy Scharwarz

\(=>P\ge\)\(\dfrac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{1-3xy+3xy}=4+2\sqrt{3}\)

 

Answer 2

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\x^3+y^3=\sqrt{3}xy\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\xy=\dfrac{3-\sqrt{3}}{6}\end{matrix}\right.\)

Giải hệ S, P này em sẽ tìm được điểm rơi của bài toán