Question

cho \(x\ge1;y\ge1\)chứng minh

\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)

Answer 1

Answer 2

Ta có: \(x\ge1;y\ge1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(y-1\right)\ge0\\y\left(x-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\ge x^2\\xy\ge y^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+xy\ge1+x^2\\1+xy\ge1+y^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{1+x^2}\ge\dfrac{1}{1+xy}\left(1\right)\\\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{1}{1+xy}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng vế với vế (1) và (2) ta được : {cái bđt ở đầu bài chép xuống đây}