Lời giải:
Đặt \(A=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky và AM-GM:
\(A^2\leq (x^2+y^2+z^2)(1-y^2+1-z^2+1-x^2)\)
\(\leq \left(\frac{x^2+y^2+z^2+1-y^2+1-z^2+1-x^2}{2}\right)^2=(\frac{3}{2})^2\)
\(\Rightarrow A\leq \frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x^2+y^2+z^2=1-y^2+1-z^2+1-x^2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}\)
Ta có đpcm.
Cho x, y, z > 0 thoả mãn x+y+z=1. Chứng minh rằng:
a) \(\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82}\)
b) \(\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}}\ge\sqrt{163}\)
c)\(\sqrt{x^2+\dfrac{2}{y^2}+\dfrac{3}{z^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{2}{z^2}+\dfrac{3}{x^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{2}{z^2}+\dfrac{3}{y^2}}\ge\sqrt{406}\)
Cho các số thực dương thoả mãn: \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}=\dfrac{3}{2}\)
Cmr: \(x^2+y^2+z^2=\dfrac{3}{2}\)
Cho x, y, z > 0 thoả mãn x+y+z=2. Tìm GTNN của các biểu thức:
a) \(A=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\)
b) \(B=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}}\)
c) \(C=\sqrt{2x^2+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{4}{z}}+\sqrt{2y^2+\dfrac{3}{z^2}+\dfrac{4}{x^2}}+\sqrt{2z^2+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{4}{y^2}}\)
cho x,y,z>0 x+y+z<=1
tìm GTNN:P= \(\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\)
cho các số thực x,y,z thoả mãn x+y+z≥6.
Tìm minP=\(\dfrac{x^2}{yz+\sqrt{1+x^3}}+\dfrac{y^2}{xz+\sqrt{1+y^3}}+\dfrac{z^2}{xy+\sqrt{1+z^3}}\)
Cho mng tham khảo ạ
Cho x,y,z>0 thỏa mãn x\(^3\)+y\(^3\)+z\(^3\)=1
CMR: \(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\)+\(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\)+\(\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\)>=2
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3=1\). CMR :
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\)
@Akai Haruma
Cho x,y,z>0 /xyz=8.
Tìm min P= \(\dfrac{x^2}{\sqrt{\left(1+x^3\right)\left(1+y^3\right)}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{\left(1+y^3\right)\left(1+z^3\right)}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{\left(1+z^3\right)\left(1+x^3\right)}}\)
Cho x,y,z>0 thoã mãn: x3+y3+z3=1
Chứng minh rằng: \(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\)
