Question

Cho x, y, z là các số khác không. Chứng minh rằng:

Nếu \(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\) thì \(\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=xyz\)

Giúp với!!

Answer 1

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow\frac{xy+xz+yz}{xyz}=0\Leftrightarrow xy+xz+yz=0\) (1)

\(x+y+z=0\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+xz+yz\right)=0\) (2)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=0\) (thay (1) vào (2) ta được)

Mà điều này xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=0\) trái với giả thiết \(x;y;z\ne0\)

\(\Rightarrow\) Đề bài sai