Ôn tập toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngọc Vô Tâm

Cho x, y, z là 3 số thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}\)+\(\dfrac{1}{y}\)+\(\dfrac{1}{z}\)=1

Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{x^4}\)+\(\dfrac{1}{y^4}\)+\(\dfrac{1}{z^4}\)\(\ge\)\(\dfrac{1}{xyz}\)

ngonhuminh
17 tháng 3 2017 lúc 16:42

\(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{x}\\b=\dfrac{1}{y}\\c=\dfrac{1}{z}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\begin{matrix}a+b+c=1\\a^4+b^4+c^4\ge abc\end{matrix}\) \(x,y,z\ne0\Rightarrow a,b,c\ne0\)

\(a^2+b^2+x^2\ge ab+bc+ac\) (*){cơ bản} \(\Rightarrow\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2\ge\left(ab.ac\right)+\left(ab.bc\right)+\left(ac.bc\right)=abc\left(a+b+c\right)=abc\)

(*) bình phương hai vế

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(ab\right)^2+2\left(ac\right)^2+2\left(bc\right)^2\ge\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2+2abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge-\left[\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2\right]+2abc\ge-abc+2abc=abc=>dpcm\)Đẳng thức:

a=b=c=1/3=> x=y=z=3

thuongnguyen
17 tháng 3 2017 lúc 16:32

ta co \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{x.x}+\dfrac{1}{y.y}+\dfrac{1}{z.z}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x.x.x}+\dfrac{1}{y.y.y}+\dfrac{1}{z.z.z}=1\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{x.x.x.x}+\dfrac{1}{y.y.y.y}+\dfrac{1}{z.z.z.z}=1\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1^{ }}{y^4}+\dfrac{1}{z^4}=1\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{1}{z^4}\)>= \(\dfrac{1}{x.y.z}\)


Các câu hỏi tương tự
Park Soyeon
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết
Hatsune Miku
Xem chi tiết
Rion Hà
Xem chi tiết
Mai Thị Phương Linh
Xem chi tiết
Mai Thị Phương Linh
Xem chi tiết
Rion Hà
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Diễm Quỳnh
Xem chi tiết
Linh Lê
Xem chi tiết