Question

Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3xyz\). Chứng minh:

\(\dfrac{x^2}{y+2}+\dfrac{y^2}{z+2}+\dfrac{z^2}{x+2}\ge1\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(3xyz=x^2+y^2+z^2\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)

\(\Rightarrow xyz\geq \sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Rightarrow xyz\geq 1\)

Do đó: \(x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\geq 3\sqrt[3]{1}=3\)

Khi đó, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz (hay vẫn gọi là Svac-so ) ta có:

\(\frac{x^2}{y+2}+\frac{y^2}{z+2}+\frac{z^2}{x+2}\geq \frac{(x+y+z)^2}{y+2+z+2+x+2}=\frac{(x+y+z)^2}{x+y+2+6}\geq \frac{(x+y+z)^2}{3(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{3}\geq \frac{3}{3}=1\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$