Question

Cho : x + y = 1 . Tìm Min :

a) A = x² + y²

b) B = 3 - xy

Answer 1

a) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta có :

( x² + y²)( 1² + 1²) ≥ ( x + y)²

⇔ x² + y² ≥ \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)

⇒ A_Min = \(\dfrac{1}{2}\)

Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi : x = y = \(\dfrac{1}{2}\)

b) Ta có : x + y = 1 ⇔ x = 1 - y

Thế vào biểu thức B , ta được :

B = 3 - ( 1 - y)y

B = y² - y + 3

B = \(y^2-2.\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{4}+3-\dfrac{1}{4}\)

B = \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\)

Do : \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\) ≥ 0 ∀x

⇔\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\) ≥ \(\dfrac{11}{4}\)

⇒ B_Min = \(\dfrac{11}{4}\) ⇔ x = y = \(\dfrac{1}{2}\)

Answer 2

Haizzz:v câu a dùng đơn giản thì ko dùng,câu b thì...

Answer 3

cm 1 bđt sd cho cả a và b

\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\Leftrightarrow xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

a) \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=1-2xy\ge1-\dfrac{2\left(x+y\right)^2}{4}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

b) \(3-xy\ge3-\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=3-\dfrac{1}{4}=\dfrac{11}{4}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Answer 4

\(x+y=1\Rightarrow y=1-x\\ \Rightarrow A=x^2+y^2\\ =x^2+\left(1-x\right)^2\\ =x^2+1-2x+x^2\\ =2x^2-2x+1\\ =2x^2-2x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\\ =\left(2x^2-2x+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\\ =2\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}\\ =2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\)

Do \(2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow A=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow x-\dfrac{1}{2}=0\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow y=1-x=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(A_{Min}=\dfrac{1}{2}\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Bài này không cho các số x;y dương nên ko áp dụng BDT được.