Question

cho x > 1, y > 1. 

a, tìm gtnn của x/ căn bậc hai của x-1

b, chứng minh x^2 / y-1 + y^2/ x-1 >or = 8

Answer 1

a, \(\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{x-1+1}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\ge2\)

\(min=2\Leftrightarrow x=2\)

b, Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\dfrac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}=4x\Rightarrow\dfrac{x^2}{y-1}\ge4x-4y+4\)

\(\dfrac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{y^2}{x-1}.4\left(x-1\right)}=4y\Rightarrow\dfrac{y^2}{x-1}\ge4y-4x+4\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1}\ge8\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=2\)