Question

Cho \(\widehat{xAy}\)= 60 độ có tia phân giác Az. Từ điểm B trên à kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M. Chứng minh:

a) K là trung điểm của AC

b) Tam giác KMC là tam giác đều

c) Cho BK = 2=cm. Tính các cạnh tam giác AKM

Answer 1

a) Có: BAC = MAC = xAy/2 = 60^o/2 = 30^o

BCA = MAC (so le trong)

=> BAC = BCA

T/g AKB vuông tại K có: ABK + BAK = 90^o

T/g CKB vuông tại K có: CBK + BCK = 90^o

Như vậy, ABK = CBK

Từ đó dễ dàng => t/g AKB = t/g CKB ( cạnh góc vuông và góc nhọn kề)

=> AK = KC (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

b) t/g AHB vuông tại H có: ABH + BAH = 90^o

=> ABH + 60^o = 90^o

=> ABH = 30^o

= BAK

Dễ dàng c/m t/g BAH = t/g ABK ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> BH = AK (2 cạnh tương ứng)

Có: BH _|_ Ay (gt)

CM _|_ Ay (gt)

=> BH // CM

Lại có: BC // HM (gt)

=>BH = CM ( tính chất đoạn chắn)

= AK = KC

=> t/g KMC cân tại C (1)

T/g ACM vuông tại M có: CAM + ACM = 90^o

=> 30^o + ACM = 90^o

=> ACM = 60^o (2)

Từ (1) và (2) => t/g KMC đều (đpcm)

Answer 2

c) Ta đã biết trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 30^o bằng nửa cạnh huyền

Áp dụng vào bài ta có:

T/g BKA vuông tại K có BAK = 30^o

=> BK = 1/2BA = 2

<=> 2BK = BA = 4

T/g BKA vvuông tại K => BK² + AK² = AB² (Py-ta-go)

=> 2² + AK² = 4²

<=> AK² = 4² - 2² = 12

=> AK = \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) = BH = KM

T/g AHB vuông tại H có: AH² + BH² = AB² (Py-ta-go)

=> AH² + \(\left(\sqrt{12}\right)^2\)= 4²

=> AH² + 12 = 16

=> AH² = 4 => AH = 2

T/g AKB = t/g CKB (câu a)

=> AB = BC = 4 (2 cạnh tương ứng)

Có: BC // HM (gt)

BH // CM (câu b)

=> BC = HM = 4 ( tính chất đoạn chắn)

Lại có: AH + HM = AM

=> 2 + 4 = AM = 6

Vậy AM = 6 cm; AK = KM = \(2\sqrt{3}\)cm