Hình bạn tự vẽ nha !
Chứng minh
a, Ta có : \(\widehat{CAM}=\widehat{CAB}=\dfrac{\widehat{xAy}}{2}=\dfrac{60^o}{2}=30^o\)
mặt khác : \(\widehat{xAy}=\widehat{CBx}\) (đồng vị)
\(\Rightarrow\widehat{xAy}=\widehat{CBx}=60^O\)
mà \(\widehat{ABK}+\widehat{CBK}+\widehat{CBx}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABK}+\widehat{CBK}=180^o-\widehat{CBx}=180^o-60^o=120^o\)
\(\Delta ABK\) vuông tại K , ta có :
\(\widehat{BAK}+\widehat{ABK}+\widehat{AKB}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABK}=180^o-\left(\widehat{BAK}+\widehat{AKB}\right)\)
\(\widehat{ABK}=180^o-\left(30^o+90^o\right)=60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{CBK}=60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABK}=\widehat{CBK}\)
Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta CBK\) có :
\(\widehat{ABK}=\widehat{CBK}\) (c/m trên)
BK chung
\(\widehat{AKB}=\widehat{CKB}\) (=1v)
\(\Rightarrow\Delta ABK=\Delta CBK\left(g.c.g\right)\)
\(\Rightarrow AK=CK\) (hai cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow K\) là trung điểm của AC
b,Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta BAK\) có :
\(\widehat{BHA}=\widehat{AKB}\) (=1v)
AB chung
\(\widehat{BAH}=\widehat{ABK}\) \(\left(=60^o\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta BAK\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow BH=AK\)
mà \(AK=\dfrac{1}{2}AC\)
\(\Rightarrow BH=\dfrac{1}{2}AC\)
c,Ta có : BH = AK = CK (câu b)
mặt khác : \(BH\perp HM;CM\perp HM\)
\(\Rightarrow\) BH // CM
và BC // HM
\(\Rightarrow\) BH = CM (t/c đoạn chắn)
\(\Rightarrow\)CK = CM \(\Rightarrow\Delta KCM\) cân tại C (1)
mặt khác : \(\widehat{BCK}+\widehat{KCM}=90^o\)
\(\Delta BKC\) có : \(\widehat{CBK}+\widehat{BKC}+\widehat{BCK}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BCK}=180^o-\left(\widehat{CBK}+\widehat{BKC}\right)\)
\(\widehat{BCK}=180^o-\left(60^o+90^o\right)=30^o\)
\(\Rightarrow\widehat{KCM}=60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{CKM}=\widehat{CMK}=\dfrac{180^o-\widehat{KCM}}{2}=\dfrac{180^o-60^o}{2}=60^o\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Delta KCM\) đều
