Giải
SABCD = (SAOB + SDOC) + (SBOC + SAOD)
= a2 + b2 + M (với M = SBOC + SAOD)
SABCD đạt giá trị nhỏ nhất
\(\Leftrightarrow\) M nhỏ nhất
Theo bất đẳng thức:
\(\left(\dfrac{S_{AOD}+S_{BOC}}{2}\right)^2\ge S_{AOD}.S_{BOC}\) (*)
(Dấu "=" xảy ra khi SAOD = SBOC)
Vì \(\Delta\)AOD và \(\Delta\)AOB có chung đường cao vẽ từ A nên
\(\dfrac{S_{AOB}}{S_{AOD}}=\dfrac{OB}{OD}\) (1)
Tương tự đối với \(\Delta\)COB và \(\Delta\)COD
\(\dfrac{S_{COB}}{S_{COD}}=\dfrac{OB}{OD}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) SAOB . SCOD = SAOD . SCOB
Khi đó (*) trở thành \(\left(\dfrac{S_{AOD}+S_{BOC}}{2}\right)^2\ge a^2b^2\Rightarrow\dfrac{S_{AOD}+S_{BOC}}{2}\ge\left|a\right|.\left|b\right|\)
\(\Rightarrow\) SABCD = a2 + b2 + M \(\ge\) a2 + b2 + |a| . |b| \(\ge\) (|a| + |b|)2
Vậy SABCD đạt giá trị nhỏ nhất là (|a| + |b|)2 \(\Leftrightarrow\) SAOD = SBOC
