Question

Cho tứ giác ABCD có góc ngoài tại đỉnh C= góc ACB. Chứng minh AB+BD> AC+CD

Answer 1

Trên tia đối của tia CD lấy H sao cho AC=HC,nối B với H

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBC\) ta có:

AH=HC \(\left(gt\right)\)

\(\widehat{ACB}=\widehat{HCB}\left(gt\right)\)

\(BC:chung\)

\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta HBC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AB=BH\)(2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow AB+BD=HB+BD\) \(\left(1\right)\)

Có \(AC=HC\Rightarrow AC+DC=HC+DC\) mà\(HC+DC=DH\)\(\left(2\right)\)

\(\Delta DBH\) có\(HB+BD>DH\) (bất đẳng thức của tam giác)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\)\(\Rightarrow AB+BD\left(=HB+BD\right)>AC+CD\left(=HC+DC=DH\right)\)