Ta có: \(\widehat{ABD}+\widehat{ABC}=\widehat{DBC}\)
\(\Rightarrow90^o+\widehat{ABC}=\widehat{DBC}\) (1)
\(\widehat{EBC}+\widehat{ABC}=\widehat{ABE}\)
\(\Rightarrow90^o+\widehat{ABC}=\widehat{ABE}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{ABE}.\)
Xét \(\Delta ABE;\Delta DBC:\)
\(AB=DB\) (suy từ gt)
\(\widehat{ABE}=\widehat{DBC}\left(cmt\right)\)
\(BE=BC\) (suy từ gt)
\(\Rightarrow...\)
\(\Rightarrow AE=DC.\)
và \(\widehat{AEB}=\widehat{DCB}\)
Gọi giao điểm của AE và BC là F; giao điểm của AE và DC là H.
Khi đó: \(\widehat{FEB}=\widehat{DCF}\)
Trong \(\Delta BFE:\widehat{EBF}+\widehat{BEF}+\widehat{BFE}=180^o\)
\(\Rightarrow90^o+\widehat{FEB}+\widehat{BFE}=180^o\)
Trog \(\Delta CFH:\widehat{CHF}+\widehat{HCF}+\widehat{CFH}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{CHF}+\widehat{DCF}+\widehat{CFH}=180^o\)
Nhận thấy: \(90^o+\widehat{FEB}+\widehat{BFE}=\widehat{CHF}+\widehat{DCF}+\widehat{CFH}\)
mà \(\widehat{FEB}=\widehat{DCF}\) (c/m trên); \(\widehat{BFE}=\widehat{CFH}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow\widehat{CHF}=90^o\)
\(\Rightarrow AE\perp DC.\)
P/s: Bài này đã có 1 câu trả lời, nhưng hình như đã bị CTV nào đó xóa rồi nên mình làm lại cho bạn nhé!
* Ta có: \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=90^o\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{B_1}+\widehat{B_3}=\widehat{B_2}+\widehat{B_3}\)
hay \(\widehat{ABE}=\widehat{DBC}\)
Xét \(\Delta DCB\) và \(\Delta AEB\) có:
CB = EB (gt)
\(\widehat{DBC}=\widehat{ABE}\left(cmt\right)\)
DB = AB (gt)
=> \(\Delta DCB=\Delta AEB\left(cgc\right)\)
=> DC = AE (đpcm)
b/ Gọi K là giao diểm của AE và BC; H là giao điểm của AE là DC
Ta có: \(\widehat{C_1}=\widehat{E_1}\left(do\Delta DCB=\Delta AEB\right)\)
và \(\widehat{K_1}=\widehat{K_2}\) (đối đỉnh)
=> \(\widehat{E_1}+\widehat{K_1}=\widehat{C_1}+\widehat{K_2}\)
Trong \(\Delta BEK\) có:
\(\widehat{B_1}+\widehat{E_1}+\widehat{K_1}=90^o+\widehat{E_1}+\widehat{K_1}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{E_1}+\widehat{K_1}=180^o-90^o=90^o\)\(=\widehat{C_1}+\widehat{K_2}\)
Trong \(\Delta HKC\) có:
\(\widehat{H_1}+\widehat{C_1}+\widehat{K_2}=180^o\) (tổng 3 góc trog 1 tg)
=> \(\widehat{H_1}=180^o-\left(\widehat{C_1}+\widehat{K_2}\right)=180^o-90^o=90^o\)
=> AE _l_ DC (đpcm)
