Ôn thi vào 10

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
học giỏi nhất web

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại S. Nối EF cắt SB tại I cắt OA tại K. Gọi M là trung điểm BC.

a. Chứng minh rằng: SBOC nội tiếp.

b. Chứng minh rằng: IB = IF.

c. Chứng minh rằng: EF. CD = KF. BC

Akai Haruma
10 tháng 5 2021 lúc 22:47

Lời giải:
a) Vì $SB, SC$ là tiếp tuyến $(O)$ nên $SB\perp OB, SC\perp OC$ 

$\Rightarrow \widehat{OBS}=\widehat{OCS}=90^0$

Tứ giác $SBOC$ có tổng 2 góc đối nhau $\widehat{OBS}+\widehat{OCS}=90^0+90^0=180^0$ nên $SBOC$ là tứ giác nội tiếp.

b) 

$\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $BC$ nên $BFEC$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{IFB}=\widehat{AFE}=\widehat{ACB}(1)$

Mà:

$\widehat{IBF}=\widehat{IBA}=\widehat{ACB}(2)$ (góc nt tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

Từ $(1);(2)\Rightarrow \widehat{IFB}=\widehat{IBF}$

$\Rightarrow \triangle IFB$ cân tại $I$

$\Rightarrow IF=IB$

c) 

$\widehat{FAK}=\widehat{BAO}=\frac{180^0-\widehat{AOB}}{2}=90^0-\widehat{ACB}=\widehat{CAD}(3)$

$\widehat{AFK}=\widehat{AFE}=\widehat{ACB}=\widehat{ACD}(4)$

Từ $(3);(4)\Rightarrow \triangle AFK\sim \triangle ACD$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AF}{AC}=\frac{FK}{CD}(*)$

Mặt khác:

Dễ thấy $\triangle AFE\sim \triangle ACB$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AF}{AC}=\frac{FE}{CB}(**)$

Từ $(*);(**)\Rightarrow \frac{FK}{CD}=\frac{EF}{BC}$

$\Rightarrow FK.BC=EF.CD$ (đpcm)

 

Akai Haruma
10 tháng 5 2021 lúc 22:52

Hình vẽ:


Các câu hỏi tương tự
Trần Quân
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thúy Ngân
Xem chi tiết
VUX NA
Xem chi tiết
Kim Taehyungie
Xem chi tiết
Vladislav Hoàng
Xem chi tiết
Ok Hello
Xem chi tiết
Wolf 2k6 has been cursed
Xem chi tiết
25 Phúc 9/3
Xem chi tiết
Wolf 2k6 has been cursed
Xem chi tiết