Hình học lớp 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Bùi Quốc An

Cho tam giác nhọn ABC (ABAC) và O là giao điểm các đường trung trực của tam giác. Vẽ ra phía ngoài của tam giác hai hình vuông ABDE và ACGH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của EH và BC.
a) Chứng minh AM vuông góc với BC.
b) Trường hợp OH = OE:
. Tứ giác AMON là hình gì ? Vì sao ?
. Tính góc BAC.

 

Hoàng Thị Thu Huyền
19 tháng 12 2017 lúc 15:51

Hình học lớp 8

a) Gọi E' là điểm đối xứng với E qua A.

Khi đó ta thấy ngay MA là đường trung bình của tam giác EE'H

Vậy nên MA // HE'.

Kéo dài MA, cắt BC tại K.

Ta thấy rằng \(\widehat{BAC}=\widehat{E'AH}\) (Cùng phụ với góc CAE')

Vậy nên ta có ngay \(\Delta ABC=\Delta AE'H\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{AE'H}=\widehat{ABC}\)

Lại có \(\widehat{AE'H}=\widehat{E'AK}\) (Hai góc so le trong)

\(\widehat{E'AK}=\widehat{MAE}\) (Hai góc đổi đỉnh)

Vậy nên \(\widehat{ABC}=\widehat{MAE}\)

Suy ra \(\widehat{ABK}+\widehat{BAK}=\widehat{MAE}+\widehat{BAK}=180^o-\widehat{EAB}=90^o\)

Xét tam giác ABK có \(\widehat{ABK}+\widehat{BAK}=90^o\) nên \(\widehat{AKB}=90^o\Rightarrow MA\perp BC\left(đpcm\right)\)

b) +) Ta có \(MA\perp BC;ON\perp BC\Rightarrow\) MA // ON.

Chứng minh tương tự ta cũng có \(NA\perp EH\)

Khi OE = OH thì tam giác OEH cân tại O, suy ra OM là trung tuyến đồng thời đường cao. Vậy \(OM\perp EH\Rightarrow\) OM // NA

Vậy thì AMON là hình bình hành.

+) Ta có AMON là hình bình hành nên AM = ON.

Lại có \(AM=\dfrac{HE'}{2}=\dfrac{BC}{2}=BN=NC\)

Nên \(NO=NB=NC\Rightarrow\widehat{BOC}=90^o\)

Vậy thì \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}=45^o\)

Ta có \(\widehat{BAC}+\widehat{B_2}+\widehat{B_1}+\widehat{C_2}+\widehat{C_1}=180^o\)

Mà do OA = OB = OC nên \(\widehat{B_2}=\widehat{BAO};\widehat{C_2}=\widehat{OAC}\Rightarrow\widehat{B_2}+\widehat{C_2}=\widehat{BAC}\)

Suy ra \(2\widehat{BAC}=90^o\Rightarrow\widehat{BAC}=45^o\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Khánh Linh
Xem chi tiết
thang anh
Xem chi tiết
Phạm Quang Minh
Xem chi tiết
Linh Nguyễn
Xem chi tiết
Linh Nguyễn
Xem chi tiết
Đào Phương Duyên
Xem chi tiết
Hồ Quế Ngân
Xem chi tiết
Hồ Quế Ngân
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Linh
Xem chi tiết