Xét ΔCIH vuông tại I và ΔCFN vuông tại F có
\(\hat{ICH}\) chung
Do đó: ΔCIH~ΔCFN
=>\(\frac{CI}{CF}=\frac{CH}{CN}\)
=>\(\frac{CI}{CH}=\frac{CF}{CN}\)
Xét ΔCIF và ΔCHN có
\(\frac{CI}{CH}=\frac{CF}{CN}\)
góc ICF chung
Do đó: ΔCIF~ΔCHN
=>\(\hat{CFI}=\hat{CNH}\) (1)
Xét ΔHFN vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có
\(\hat{FHN}=\hat{EHC}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHFN~ΔHEC
=>\(\frac{HF}{HE}=\frac{HN}{HC}\)
=>\(\frac{HF}{HN}=\frac{HE}{HC}\)
Xét ΔHFE và ΔHNC có
\(\frac{HF}{HN}=\frac{HE}{HC}\)
góc FHE=góc NHC
Do đó: ΔHFE~ΔHNC
=>\(\hat{HFE}=\hat{HNC}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(\hat{EFC}=\hat{IFC}\)
=>FH là phân giác của góc EFI
Xét ΔFAI có FH là phân giác
nên \(\frac{AH}{HI}=\frac{FA}{FI}\)
