a, Do \(\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C};AB=BC=CA\)
Do \(D\in AB;E\in BC;F\in AC\)
\(\Rightarrow AB=AD+BD;BC=BE+CE;AC=CF+AF\)
Mà \(AD=BE=CF;AB=BC=AC\)
\(\Rightarrow BD=CE=AF\)
Ta dễ chứng minh \(\Delta ADF=\Delta BED\left(c-g-c\right)\Rightarrow DF=ED\) (1)
\(\Delta ADF=\Delta CFE\left(c-g-c\right)\Rightarrow DF=FE\) (2)
Từ (1) và (2) => DF=ED=FE \(\Rightarrow\Delta DEF\) đều
Vậy \(\Delta DEF\) đều
b, Vì O là trọng tâm của \(\Delta ABC\) => O là giao điểm của 3 đường trung tuyến đồng thời là giao điểm của 3 đường trung trực và giao điểm của 3 đường phân giác của \(\Delta ABC\) (do \(\Delta ABC\) đều)
\(\Rightarrow OA=OB=OC\)
\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\) (do \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}\))
Ta dễ chứng minh \(\Delta AOD=\Delta BOE\left(c-g-c\right)\Rightarrow OD=OE\) (3)
\(\Delta AOD=\Delta COF\left(c-g-c\right)\Rightarrow OD=OF\)(4)
Từ (3) và (4) => OD=OE=OF => O là giao điểm 3 đường trung trực của \(\Delta DEF\) => O là trọng tâm của \(\Delta DEF\) (do \(\Delta DEF\) đều)
Vậy O là trọng tâm của \(\Delta DEF\)
