Question

Cho tam giác đều ABC. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB và AC. Gọi I là trung điểm của AM, D là trung điểm của BC. a, Tính góc DIE và góc DIF. b, CMR: tứ giác DEIF là hình thoi.

Answer 1

a) + ΔAME vuông tại E có đường trung tuyến EI

=> EI = 1/2AM => EI = MI = AI

+ Tương tự ta có : DI = FI = AI = MI

+ ΔAEI cân tại I => \(\widehat{IAE}=\widehat{IEA}\)

\(\Rightarrow\widehat{EIM}=2\widehat{IAE}\)

+ Tương tự : \(\widehat{MID}=2\widehat{IAD}\)

\(\Rightarrow\widehat{EIM}+\widehat{MID}=2\left(\widehat{EAI}+\widehat{MAD}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DIE}=2\cdot30^o=60^o\) ( do góc EAD = 30 độ )

+ \(\widehat{DIF}=180^o-\left(\widehat{AIF}+\widehat{MID}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DIF}=180^o-\left(180^o-2\widehat{IAF}+180^o-2\widehat{IMC}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DIF}=180^o-\left(360^o-240^o\right)\) ( do \(\widehat{IAF}+\widehat{IAC}=120^o\))

\(\Rightarrow\widehat{DIF}=60^o\)

b) + ΔDIE có DI = EI, \(\widehat{DIE}=60^o\)

=> ΔDIE đều => DI = EI = DE (1)

+ Tương tự : ΔDIF đều

=> DI = FI = DF (2)

+ Từ (1) và (2) => DE = EI = IF = DF

=> tứ giác DEIF là hình thoi