a) \(AH\perp BC\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o\)
Xét △AHB và △AHC có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o\)
AB = AC (gt)
AH: cạnh chung
\(\Rightarrow\text{△AHB = △AHC}\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}HB=HC\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\\\widehat{CAH}=\widehat{BAH}\left(\text{2 góc tương ứng}\right)\end{matrix}\right.\)
b) Có: HB + HC = BC
Mà HB = HC (chứng minh trên)
\(\Rightarrow HB=HC=\frac{BC}{2}=\frac{8}{2}=4\left(cm\right)\)
Xét △AHB vuông tại H có:
\(AH^2+HB^2=AB^2\) (định lí Pytago)
\(\Rightarrow AH^2=AB^2-HB^2\\ \Rightarrow AH^2=5^2-4^2=25-16=9\\ \Rightarrow AH=3\left(cm\right)\)
c) \(HD\perp AB\Rightarrow\widehat{HDA}=\widehat{HDB}=90^o\\ HE\perp AC\Rightarrow\widehat{HEA}=\widehat{HEC}=90^o\)
Xét △AHD và △AHE có:
\(\widehat{HDA}=\widehat{HEA}=90^o\)
AH: cạnh chung
\(\widehat{DAH}=\widehat{EAH}\)
\(\Rightarrow\text{△AHD = △AHE}\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow AD=AE\) (2 cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow\text{△ADE cân tại A}\)
\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\left(1\right)\)
Có △ABC cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)
Mà 2 góc ở vị trí đồng vị
\(\Rightarrow\) DE // BC (dấu hiệu nhận biết)
c) Vì \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{DAH}=\widehat{EAH}.\)
=> \(AD=AE\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(\Delta ADE\) cân tại \(A.\)
=> \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) (tính chất tam giác cân).
=> \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\) (1).
+ Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tính chất tam giác cân).
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\) (2).
Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}.\)
Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị.
=> \(DE\) // \(BC\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
