Cho tam giác ABCvuông tại A, tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D
a) Cho biết BC=10cm,AB=6cm,AD=3cm.Tính độ dài các đoạn thẳng AC và CD
b) Vẽ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh tam giác ABD= tam giác EBD và tam giác BAE cân
c) Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng AB và DE.So sánh DE và DF
d) Gọi H là giao điểm của BD và CF.K là điểm trên tia đối của tia DF sao cho DK=DF ,I là điểm trên đoạn thẳng CD sao cho CI=2DI. Chứng minh rằng ba điểm K,H,I thẳng hàng.
a) Theo định lí Pytago, ta có:
BC2 = AB2 + AC2
=> AC2 = BC2 - AB2
=> AC2 = 102 - 62
=> AC2 = 64
Vậy AC = 8
Mà AD + CD = AC
=> CD = AC - AD
=> CD = 8 - 3 = 5
b) Xét tam giác vuông ABD và tam giác vuông EBD, ta có:
BD: chung
góc ABD = góc EBD ( vì BD là tia phân giác của góc ABE)
Do đó: tam giác ABD = tam giác EBD (cạnh huyền.góc nhọn)
=> AB = BE (2 cạnh tương ứng)
Hay tam giác BAE cân tại B
c) Vì trong tam giác vuông, cạnh huyền luôn là cạnh lớn nhất
nên DF > AD
mà AD = DE ( vì tam giác ABD = tam giác EBD)
Vậy DF > DE
d) Tam giác BCF có CA và EF là 2 đường cao cắt nhau tại D
=> D là trực tâm của tam giác BCF
=> BH song song với CF
Mà BH là đường phân giác của BAC
=> tam giác BCF cân tại B
=> BH là đường trung tuyến
Xét tam giác CFK có:
CD là trung tuyến ( vì DK = DF nên D là trung tâm của FK)
CI=23⋅CDCI=23⋅CD (vì CI = 2DI nên CICD=CICI+DI=2DI2DI+DI=2DI3DI=23CICD=CICI+DI=2DI2DI+DI=2DI3DI=23 )
=> I là trọng tâm của tam giác CFK
=> KI đi qua trung điểm CF
mà H là trung điểm của CF (vì BH là đường trung tuyến)
Vậy K,I,H thẳng hàng
a,\(\Delta ABC\) vuông tại A :
=> \(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AC^2=BC^2-AB^2\)
\(=10^2-6^2\)
\(=8^2\)
=>AC=8
ta có : AD+DC=AC
DC=AC-AD
=8-3
=5
B, Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta\)\(EBD\) CÓ
\(\widehat{A}=\widehat{E}\left(=90^o\right)\)(gt)
\(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{EBD}\) (gt)
BD : cạnh chung
Suy ra : \(\Delta ABD\) = \(\Delta\)\(EBD\) (ch-gn)
=>AD=DE(2 cạnh tương ứng)
=>\(\Delta\)ADE cân tại D
