Question

Cho tam giác ABC.Đường trung tuyến AD, đường cao BH, đường phân giác CE đồng quy. Chứng minh đẳng thức :

(BC+CA)(BC^2+CA^2-AB^2)=2BC.CA^2

Answer 1

Áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABC ta có:

\(\frac{AE}{BE}.\frac{BD}{CD}.\frac{CH}{AH}=1\)

Mà BD = CD nên \(\frac{AE}{BE}=\frac{AH}{CH}\).

Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có:

\(\frac{AE}{BE}=\frac{CA}{CB}\).

Do đó: \(\frac{AH}{CH}=\frac{CA}{CB}\)

\(\Leftrightarrow\frac{AH}{CH}+1=\frac{CA}{CB}+1\)

\(\Leftrightarrow\frac{AC}{CH}=\frac{CA+CB}{BC}\).

Mặt khác ta tính được: \(CH=\frac{CB^2+CA^2-AB^2}{2CA}\).

Do đó: \(\frac{2CA^2}{BC^2+CA^2-AB^2}=\frac{CA+CB}{BC}\).

Theo tỉ lệ thức ta có đpcm.