cho tam giác ABC,có AC<AB ,M là trung điểm BC ,vẽ phân giác AD .Từ M vẽ đg thẳng vuông góc với AD tại H ,đg thẳng này cắt tia AC tại F ,cắt AB tại E .chứng minh rằng :
a) tam giác AFE cân
b) vẽ đg thẳng Bx // EF , cắt AC tại K .chứng minh rằng : KF =BE
c)chứng minh rằng :AE=(AB+AC):2
làm giúp mik câu c thôi ạ
Tự vẽ hình
a) Xét \(\Delta\) AFH vuông tại H và \(\Delta\) AED vuông tại H có :
\(\widehat{FAH}=\widehat{EAH}\) (AD là tia phân giác \(\widehat{FAE}\) )
chung AH
=> \(\Delta\) AFH = \(\Delta\) AED (cgv - gn)
=> AF = AE (cặp cạnh tương ứng)
=> \(\Delta\) AFE cân
b) Vì \(\Delta\) AFE cân
=> \(\widehat{AFE}=\widehat{AEF}\)
Vì EF // BK
=> \(\widehat{AFE}=\widehat{K}\) (đồng vị)
và \(\widehat{AEF}=\widehat{ABK}\) (đồng vị)
Mà \(\widehat{AFE}=\widehat{AEF}\)
=> \(\widehat{K}=\widehat{ABK}\)
=> \(\Delta\) ABK cân tại A
=> AK = AB
Ta có :
AK = AF + KF
AB = AE + EB
Mà AK = AB và AF = AE
=> FK = EB
c) Từ M kẻ MI // AK
Nối FI
Vì FM // KI
=> \(\widehat{MFI}=\widehat{FIK}\) (so le trong)
Vì FD // MI
=> \(\widehat{KFI}=\widehat{FIM}\) (so le trong)
Xét \(\Delta\) FKI và \(\Delta\) IFM có :
\(\widehat{KFI}=\widehat{FIM}\) (chứng minh trên)
chung FI
\(\widehat{KIF}=\widehat{MFI}\) (so le trong)
=> \(\Delta\) FKI = \(\Delta\) IFM (g-c-g)
=> FK = MI (cặp cạnh tương ứng)
Vì FE // BK
=> \(\widehat{IBM}=\widehat{BME}\) (so le trong)
mà \(\widehat{BME}=\widehat{CMF}\) (đối đỉnh)
=> \(\widehat{CMF}=\widehat{IBM}\)
Vì MI // CF
=> \(\widehat{MCF}=\widehat{IMB}\) (đồng vị)
Xét \(\Delta\) FCM và \(\Delta\) IMB có :
\(\widehat{MCF}=\widehat{IMB}\) (chứng minh trên)
CM = MB (M là trung điểm của BC)
\(\widehat{CMF}=\widehat{IBM}\) (chứng minh trên)
=> \(\Delta\) FCM = \(\Delta\) IMB (g-c-g)
=> CF = MI (cặp cạnh tương ứng)
mà MI = FK (chứng minh trên)
=> CF = FK
Mà FK = EB (theo câu b)
=> CF = EB
Theo câu a :
FA = EA
=> \(\dfrac{AE+FA}{2}\) = AE
=> AE = \(\dfrac{AE+AC+FC}{2}\)
Mà CF = EB
=> \(\dfrac{AE+EB+AC}{2}\)
=> AE = \(\dfrac{AB+AC}{2}\)
=> đpcm
Mình chứng minh tiếp câu C của bạn Mai:
-Kẻ CX // AE => ^xcm = ^ebm ( so le trong) // mình không biết gõ công thức sr m.n
-Xét tg xcm và tg ebm có:
^xcm =^ebm (cmt)
cm=bm (gt)
^xmc=^emb ( đối đỉnh)
=>tg xcm=tg ebm
=>cx=be
Lại có CX//BE =>^cxf=^aef (đồng vị)
mà ^aef=^afe ( chứng minh ở câu b)
2 điều trên => ^cfx=^cxf => tg cfx cân tại C =>CF=CX
Mà CX=BE (cmt) =>CF=BE
Lại có AB=AE+EB
AC=AF-CF
=>AB+AC=AE+EB+AF-CF (1)
Lại có AF=AE (tg AFE cân tại A) (2)
CF=BE (cmt) (3)
Thay (2),(3) vào 1 ta có điều phải chứng minh.
( tg : tam giác , ^: góc )
