Question

Cho tam giác ABC vuông tại C có CH là đường cao

a) Chứng minh: Tam giác ACH đồng dạng với tam giác ABC rồi suy ra: CA.BC=CH.AB

b) Vẽ HE vuông góc với AC tại E,HI vuông góc với CB tại I

Chứng minh: CH^2=CE.CA và tam giác CEI đồng dạng với tam giác CBA

c) Gọi EI cắt CH tại O và K thuộc tia đối của tia CB sao cho CK=BC/2

Chứng minh: tam giác AHO đồng dạng với tam giác ACK và chứng minh: AO vuông góc với OK

Answer 1

a) Xét tam giác HAC vuông tại H và tam giác CAB vuông tại C có:

HAC = CAB

=> Tam giác HAC ~ Tam giác CAB (g - g)

\(\Rightarrow\dfrac{HC}{CB}=\dfrac{AC}{AB}\)

=> HC . AB = AC . CB

b)

Xét tam giác HAC vuông tại H và tam giác EHC vuông tại E có:

HCA = ECH

=> Tam giác HAC ~ Tam giác EHC (g - g)

=> \(\dfrac{HC}{EC}=\dfrac{AC}{HC}\)

=> HC² = EC . AC

Hình chữ nhật ECIH (HEC = ECI = CIH = 90⁰)

=> Tam giác OIC cân tại O (OI = OC)

=> OIC = OCI

mà OCI = EHC (2 góc so le trong, EH // CI)

EHC = HAC (Tam giác HAC ~ Tam giác EHC)

=> OIC = HAC

Tam giác CEI vuông tại C và tam giác CBA vuông tại C có:

CIE = CAB (chứng minh trên)

=> Tam giác CEI ~ Tam giác CBA (g - g)

c)

CEHI là hình chữ nhật (theo b)

=> OH = \(\dfrac{1}{2}\)CH

Ta có:

\(\dfrac{HO}{CK}=\dfrac{\dfrac{1}{2}CH}{\dfrac{1}{2}BC}=\dfrac{CH}{BC}\)

mà \(\dfrac{CH}{BC}=\dfrac{AH}{AC}\) (Tam giác HAC ~ Tam giác CAB)

=> \(\dfrac{HO}{CK}=\dfrac{AH}{AC}\)

Xét tam giác AHO vuông tại H và tam giác ACK vuông tại C có:

\(\dfrac{HO}{CK}=\dfrac{AH}{AC}\) (chứng minh trên)

=> Tam giác AHO ~ Tam giác ACK (c - g - c)