cho tam giác ABC vuông tại A(AB<AC).gọi M là trung điểm của cạnh BC . qua M vẽ MH vuông góc với AB tại H , MN vuông góc với AC tại N . gọi D là điểm đối xứng của M qua N
a, chứng minh tứ giác AHMN là hình chữ nhật
b,tứ giác ADCM là hình gì ? vì sao ?
c, đường thẳng BN cắt DC tại K . chứng minh DC=3DK
a) Xét tứ giác AHMN có
\(\widehat{NAH}=90độ\)(ΔABC vuông tại A, NϵAC,HϵAB)
\(\widehat{MHA}=90độ\)(do MH⊥AB)
\(\widehat{MNA}=90độ\)(do MN⊥AC)
Do đó: AHMN là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Ta có: MN⊥AC(gt)
AB⊥AC(ΔABC vuông tại A)
Do đó: MN//AB(định lí 2 về quan hệ giữa vuông góc và song song)
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC(gt)
MN//AB(cmt)
Do đó: N là trung điểm của AC(định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
Xét tứ giác ADCM có
N là trung điểm của đường chéo AC(cmt)
N là trung điểm của đường chéo MD(do M và D đối xứng nhau qua N)
Do đó: ADCM là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Xét ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(do M là trung điểm của BC)
nên \(AM=\frac{BC}{2}=CM=BM\)
Xét hình bình hành ADCM có AM=CM(cmt)
nên ADCM là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
