Question

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kỳ, kẻ MH vuông góc với AB, kẻ MK vuông góc với AC(H thuộc AB, K thuộc AC).

a) Chứng minh: Tứ giác AHMK là hình chữ nhật;

b) Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để tứ giác AHMK là hình vuông;

c) Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để HK có độ dài nhỏ nhất.

Answer 1

a/AHMK có 3 góc vuông

b/AM là tia phân giác

c/Ta có: AHK vuông tại A nên:

\(HK=\sqrt{AH^2+AK^2}\)

Ta có bổ đề sau:

\(AH^2+AK^2\ge2AH.AK\)

\(\Rightarrow HK\ge\sqrt{2AH.AK}\)

Đẳng thức xảy ra khi AH=AK, hay AHMK là hình vuông, khi đó M là trung điểm BC