\(\Delta_{\perp}CAB\sim\Delta_{\perp}CKE\) (\(\widehat{ABC}=\widehat{KEC}\) góc có cạnh tương ứng vuông góc)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{KE}{CK}=2\Rightarrow AB=2AC\Rightarrow AC=AM\Rightarrow\Delta ACM\) vuông cân
A và K cùng nhìn CM dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow ACKM\) nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{AKM}=\widehat{ACM}=45^0\) (cùng chắn cung AM)
\(\Rightarrow\widehat{AKC}=90^0-\widehat{AKM}=45^0\)
\(\overrightarrow{AK}=\left(2;6\right)\Rightarrow AK\) nhận \(\overrightarrow{n_{AK}}=\left(3;-1\right)\) là 1 vtpt
Phương trình AK: \(3x-y-3=0\)
Gọi phương trình \(KC\) (hoặc KM) có dạng \(ax+by+c=0\), do KC qua K nên
\(4a+9b+c=0\Rightarrow KC:ax+by-4a-9b=0\)
\(cos\widehat{AKC}=\frac{\left|3a-b\right|}{\sqrt{10}.\sqrt{a^2+b^2}}=cos45^0=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow9a^2-6ab+b^2=5a^2+5b^2\)
\(\Leftrightarrow4a^2-6ab-4b^2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2b\\b=-2a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Phương trình KC và KM:
\(\left[{}\begin{matrix}2bx+by-8b-9b=0\\ax-2ay-4a+18a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+y-17=0\\x-2y+14=0\end{matrix}\right.\)
Giả sử phương trình KC có dạng \(2x+y-17=0\) (trường hợp còn lại sẽ đối xứng ngược lại) \(\Rightarrow\) pt KM: \(x-2y+14=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}C\left(c;17-2c\right)\\M\left(2m-14;m\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(c-2;14-2c\right)\\\overrightarrow{AM}=\left(2m-26;m-3\right)\end{matrix}\right.\)
Do tam giác AMC vuông cân nên ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AM}\right|\\\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AM}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(c-2\right)^2+\left(14-2c\right)^2=\left(2m-26\right)^2+\left(m-3\right)^2\\\left(c-2\right)\left(2m-26\right)+\left(14-2c\right)\left(m-3\right)=0\end{matrix}\right.\)
Giải hệ này ra sẽ xong bài toán :D
