Question

cho tam giác ABC vuông tại A kẻ đường cao AH. Biết AB=6cm, AC=8cm

a, AH=?

b, Vẽ đường tròn tâm B bán kính BA, đường tròn tâm B cắt BC tại D và E; E nằm giữa B và C. AB cắt đường tròn tâm B tại N( N khác A), NC cắt đường tròn tâm B tại M ( M khác N). CM :CE.CD=CM.CN

c, Cho góc ADE = a; CM sin2a=2 sina.cosa

Answer 1

a) Theo định lí Py-ta-go ta có:

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

Thep hẹ thức lượng ta có:

AH . BC = AB . AC

\(\Leftrightarrow AH.10=6.8\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{6.8}{10}=\dfrac{24}{5}\left(cm\right)\)

b) Vì \(\Delta ADE\) nội tiếp đường tròn tâm (O) có cạnh DE là đường kính

\(\Rightarrow\Delta ADE\) vuông tại A

Hay \(\widehat{EAD}=90^o\) (1)

Ta có: \(\widehat{BAC}=90^o\left(gt\right)\) (2)

Mà \(\widehat{DAB}+\widehat{BAE}=\widehat{EAD}\left(3\right)\)

Và \(\widehat{CAE}+\widehat{BAE}=\widehat{BAC}\left(4\right)\)

Từ (1), (2) ,(3), (4) \(\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{CAE}\left(5\right)\)

Ta lại có: BA = BD = R (gt)

\(\Rightarrow\Delta ABD\) cân tại B

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{DAB}\) (6)

Từ (5), (6) \(\Rightarrow\widehat{CAE}=\widehat{ADB}\)

Hay \(\widehat{CAE}=\widehat{CDA}\left(7\right)\)

Mà \(\widehat{ACE}\) là góc chung của \(\Delta AEC\) và \(\Delta DAC\) (8)

Từ (7), (8) \(\Rightarrow\Delta AEC\sim\Delta DAC\left(G-G\right)\) (9)

Ta lại có: \(\Delta AMN\) nội tiếp đường tròn tâm (O) có cạnh AN là đường kính

\(\Rightarrow\Delta AMN\) vuông tại M

Hay MA \(\perp MN\)

\(\Rightarrow AM\) là đường cao của \(\Delta ANC\)

Áp hệ thức lượng đối với \(\Delta ANC\) ta có:

AC² = CM . CN (10)

Từ (9) \(\Rightarrow\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{CE}{AC}\Leftrightarrow AC^2=CE.CD\) (11)

Từ (10), (11) \(\Rightarrow CE.CD=CM.CN\)

c) Từ (6) \(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{DAB}\) (12)

Mà \(\widehat{ADE}+\widehat{DAB}=\widehat{ABH}\) (\(\widehat{ABH}\) là góc ngoài) (13)

Từ (12), (13) \(\Rightarrow\widehat{ABH}=2\widehat{ADE}=2a\) (14)

Theo tỉ số lượng giác ta có:

sin a = \(\dfrac{AH}{AD}\)

cos a = \(\dfrac{AD}{DE}\)

\(\Rightarrow2sin\)a . cosa = \(\dfrac{2AH.AD}{AD.DE}=\dfrac{2AH}{DE}\)(15)

Từ (14) \(\Rightarrow\) sin 2a = \(\dfrac{AH}{AB}\)(16)

Mà AB = BD = BE = R =\(\dfrac{DE}{2}\)(17)

Từ (16), (17) \(\Rightarrow sin2a=\dfrac{AH}{\dfrac{DE}{2}}=\dfrac{2AH}{DE}\) (18)

Từ (15), (18) \(\Rightarrow\) sin2a = 2sina . cosa