Question

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là trung điểm của AC. Kẻ \(DE\perp BC\). CM: \(EB^2-EC^2=AB^2\)

Answer 1

Trong tam giác vuông ABD, theo định lí Pytago ta có:

\(BD^2=AB^2+AD^2\) hay \(BD^2=AB^2+\dfrac{AC^2}{4}\)

Trong tam giác vuông DBE, theo định lí Pytago ta có:

\(EB^2=BD^2-DE^2=AB^2+\dfrac{AC^2}{4}-DE^2\) ( 1 )

Trong tam giác vuông CDE, theo định lí Pytago ta có:

\(EC^2=DC^2-DE^2=\dfrac{AC^2}{4}-DE^2\) ( 2 )

Từ (1) và (2) ta có:

\(EB^2-EC^2=AB^2+\dfrac{AC^2}{4}-DE^2-\left(\dfrac{AC^2}{4}-DE^2\right)=AB^2\)

Vậy \(EB^2-EC^2=AB^2\) (ĐPCM)